TRIGONOMETRÍA

Definiciones

En un sistema de coordenadas plano tenemos un punto P (x,y). La distancia del punto P al origen de coordenadas 0 es positiva y se denota por:

Llamaremos eje x a X'0X y eje y a Y'0Y, (ver figura):

Un ángulo formado a partir de OX en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj es considerado positivo. El giro contrario, igual al de las manecillas del reloj es considerado negativo.

Siendo A un ángulo de cualquier cuadrante, las funciones trigonométricas de dicho ángulo se definen a continuación:

Radian

Unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia cuyo arco es igual al radio.

Equivalencia entre grados sexagesimales y radianes

FORMULA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA

De esta formula se deducen las dos siguientes:

PARIDAD DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones sen, tag, cosec y cotag son impares y las funciones cos y sec son pares.

Se verifica que:

PERIODICIDAD DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones sen, cos, cosec, sec, son periódicas de periodo 2π.

Las funciones tg, cotg, son periódicas de periodo π.

Por tanto se verifica que:

FUNCIONES DE ÁNGULOS DE CUALQUIER CUADRANTE REDUCIDOS AL PRIMER CUADRANTE

FORMULAS DE ADICIÓN

FORMULAS DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD

CUADRADOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

SUMA, DIFERENCIA Y PRODUCTO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

RELACIONES ENTRE LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIANGULO RECTANGULO

Triángulo de pitágoras:

b ² = a ² + c ²

$sen\; A\; =$

a / b

$sen\; C\; =$

c / b

 

$cos\; A\; =$

c / b

$cos\; C\; =$

a / b

 

$tg\; A\; =$

a / c

$tg\; C\; =$

c / a

Regla del 3 4 5 :

Esta regla se utiliza mucho en construcción a la hora de realizar replanteos. Disponiendo de una línea recta de la que se pretende sacar una línea perpendicular por un punto concreto. Esta regla nos dice que un triángulo rectángulo cuando un cateto mide 3 y el otro cateto mide 4, la hipotenusa valdrá siempre 5. Imaginando que tenemos la recta coincidiendo con el lado "c" de nuestro dibujo y que el punto por el que queremos sacar la línea perpendicular es el punto "B", mediríamos a la izquierda de "B" 3 metros y marcaríamos "A". Con dos flexómetros midiendo 4 y 5 metros respectivamente colocados en "b" (5 metros) y en "a" (4 metros) donde se crucen marcaríamos el punto "C". Uniendo los puntos "B" y "C" tendríamos la línea perpendicular a la inicial.

Tened en cuenta que funciona de la misma manera si multiplicáis los tres valores por el mismo número. De esta forma al igual que es válido con los número 3, 4 y 5 lo sería con los números 6, 8 y 10 ó 30, 40, 50, etc... Podéis adaptarlo a las dimensiones que prefiráis dependiendo del espacio y los elementos de medición de los que dispongáis. También tenéis que tener en cuenta que cuanto más grandes sean las distancias utilizadas más exacta será la línea perpendicular a la inicial.

Hemos hablado de valores y no lo hemos hecho de unidades. Solo hay que tener en cuenta que los 3 valores deberán tener las mismas unidades.

RELACIÓN ENTRE LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO PLANO CUALQUIERA

Teorema del seno:

$sen\; A\; =$

a / senA

=

b / senB

=

c / senC

Teorema del coseno:

$a2=\; b2+\; c2-\; 2bccosA$

$b2=\; a2+\; c2-\; 2accosB$

$c2=\; a2+\; b2-\; 2abcosC$